Question

如圖所示，橢圓C：（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為 F（1，0），且過點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知A、B為橢圓上的點(diǎn)，且直線AB垂直于x軸，直線l：x=4與x軸交于點(diǎn)N，直線AF與BN交于點(diǎn)M．
（�。┣笞C：點(diǎn)M恒在橢圓C上；
（ⅱ）求△AMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中橢圓C：（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為 F（1，0），且過點(diǎn)．我們可得c=1，進(jìn)而求出b²，a²的值，即可得到橢圓C的方程；
（2）（i）由題可設(shè)A（m，n），則B（m，-n）（n≠0），則，進(jìn)而求出AF與BN的方程，設(shè)M（x，y），可得x=，y=代入橢圓方程可得結(jié)論．
（ⅱ）設(shè)AM的方程為x=ty+1，代入橢圓方程得（3t²+4）y²+6ty-9=0，設(shè)A（x₁，y₁）、M（x₂，y₂），則有y₁+y₂=，y₁•y₂=，進(jìn)而|y₁-y₂|的最大值，進(jìn)而，根據(jù)△AMN的面積S△AMN=|NF|•|y₁-y₂|可得答案．
解答：解：（1）∵橢圓C：（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為 F（1，0），
∴c=1，
又∵橢圓C：過點(diǎn)
∴，
解得b²=3，a²=4，
所以橢圓C的方程為…（3分）
（2）（i）證明：由題意得F（1，0）、N（4，0）．
設(shè)A（m，n），則B（m，-n）（n≠0），
AF與BN的方程分別為：n（x-1）-（m-1）y=0，n（x-4）+（m-4）y=0．
設(shè)M（x，y），則有
n（x-1）-（m-1）y=0，且n（x-4）+（m-4）y=0．
由上得x=，y=                      …（6分）
由于=+===1
所以點(diǎn)M恒在橢圓C上．             …（8分）
（ⅱ）解：設(shè)AM的方程為x=ty+1，代入，
得（3t²+4）y²+6ty-9=0
設(shè)A（x₁，y₁）、M（x₂，y₂），則有y₁+y₂=，y₁•y₂=，．
|y₁-y₂|==．…（10分）
令=λ（λ≥1），則
|y₁-y₂|==
因?yàn)楹瘮?shù)y=3λ+在[1，+∞）為增函數(shù)，
所以當(dāng)λ=1即t=0時(shí)，函數(shù)y=3λ+有最小值4．
即t=0時(shí)，|y₁-y₂|有最大值3，
△AMN的面積S△AMN=|NF|•|y₁-y₂|有最大值 ．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合問題，其中根據(jù)已知條件求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答本題的關(guān)鍵．