Question

（本小題滿分12分）

已知拋物線：經(jīng)過(guò)橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn).設(shè)，又為與不在軸上的兩個(gè)交點(diǎn)，若的重心(中線的交點(diǎn))在拋物線上，

(1)求和的方程.

（2）有哪幾條直線與和都相切？（求出公切線方程）

 

Answer 1

【答案】

(1) 拋物線的方程為：， 橢圓的方程為：

(2) 有3條直線與和都相切.

【解析】

試題分析：.解：（1）因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過(guò)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，       

所以，即，由 ,             

橢圓的方程為： ,聯(lián)立拋物線的方程         

得：， 解得：或（舍去），所以 ，

即，所以的重心坐標(biāo)為.        

因?yàn)橹匦脑?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013050511124777135345/SYS201305051113103338968763_DA.files/image001.png">上，所以，得.所以.              

所以拋物線的方程為：， 橢圓的方程為：.      

(2)因拋物線：開(kāi)口向下且關(guān)于y軸對(duì)稱，所以與x軸垂直的直線都不是其切線。

所以可設(shè)直線y=kx+m與和都相切,                            

則由有相等實(shí)根                    

                     

  

有3條直線與和都相切.

考點(diǎn)：拋物線和橢圓的方程的求解

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用方程的性質(zhì)得到a,bc的值，同時(shí)利用線圓相切的關(guān)系來(lái)分析結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題。