Question

設函數(shù)f（x）=2ax-bx²+lnx．給出下列條件，條件A：f（x）在x=1 和x=處取得極值；條件B：b=a
（Ⅰ）在A條件下，求出實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ） 在A條件下，對于在[]上的任意x，不等式f（x）-c≤0恒成立，求實數(shù)c的最小值；
（Ⅲ） 在B條件下，若f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可得函數(shù)的定義域為（0，+∞），然后對函數(shù)求導可得，由f（x）在處取得極值，可得f′（1）=0，，代入可求a，b的值
（Ⅱ） 對于在上的任意x，不等式f（x）-c≤0恒成立，只需c≥[f（x）]_max
由（I）可得==，結(jié)合f′（x）＞0，f′（x）＜0，研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進而可確定函數(shù)的f（x）在上的極大值，然后通過比較極大值與端點值比較求解函數(shù)的最大值，從而可求c的取值范圍
（Ⅲ） 當a=b時，可得
由f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，可得
x＞0，-2ax²+2ax+1≥0或-2ax²+2ax+1≤0在（0，+∞）恒成立，結(jié)合函數(shù)的知識進行求解
解答：解：（Ⅰ）f（x）=2ax-bx²+lnx，定義域為（0，+∞）
  …（1分）
f（x）在處取得極值，
∴f′（1）=0，…（2分）
即解得此時，
可看出f′（1）=0，f′（2）=0且f′（x）在x=1和兩側(cè)均為異號，符合極值條件
∴所求a，b的值分別為…（4分）
（Ⅱ） 對于在上的任意x，不等式f（x）-c≤0恒成立，只需c≥[f（x）]_max
由==
∴當時，f′（x）＞0，故f（x）在上是單調(diào)遞增
當時； f′（x）＜0，故f（x）在上單調(diào)遞減
當x∈[1，3]時； f′（x）＞0，故f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增
∴是f（x）在上的極大值…（6分）
而=，f（3）=-3-3+3²+ln3=ln3＞0…（8分）
∴[f（x）]_max=f（3）=ln3
∴c的取值范圍為[ln3，+∞），所以c得最小值為ln3…（9分）
（Ⅲ） 當a=b時，
①當a=0時，，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增…（10分）
②x＞0要使-2ax²+2ax+1≥0在（0，+∞）恒成立
令g（x）=-2ax²+2ax+1，
則，即，解得-2≤a＜0…（12分）
③x＞0要使-2ax²+2ax+1≤0在（0，+∞）恒成立
令g（x）=-2ax²+2ax+1，，即 無解
綜上可知a的取值范圍為-2≤a≤0…（14分）
點評：（1）若函數(shù)在某點取得極值則該店的導數(shù)為0是導數(shù)最基本的考查
（2）函數(shù)的恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題，結(jié)合導數(shù)的知識可求
（3）由函數(shù)單調(diào)求解參數(shù)的問題常結(jié)合函數(shù)的知識，體現(xiàn)了分類討論與轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應用．