Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)軸時(shí)，的面積為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）由已知條件得b2＝a2﹣1，利用通徑公式得出|AB|的表達(dá)式，再由△ABM的面積得出有關(guān)a的方程，求出a的值，可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）對(duì)直線l與x軸垂直、與y軸垂直以及與斜率存在且不為零三種情況討論．在前兩種情況下可直接進(jìn)行驗(yàn)證；在第三種情況下，設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣1）（k≠0），將直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用斜率公式并代入韋達(dá)定理，通過(guò)化簡(jiǎn)計(jì)算得出結(jié)論成立．

（1）依題意得，即，

所以當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)軸時(shí)，，

因?yàn)?/span>，所以，解得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）當(dāng)與軸重合時(shí)，，滿足條件；當(dāng)與軸垂直時(shí)，滿足條件，

當(dāng)與軸不重合且不垂直時(shí)，設(shè)為，，，

把代入，得，

則，，

因?yàn)?/span> ，

而，

所以.