Question

19．已知函數(shù)f（x）=（ab-a-4b-5）x²+$\frac{a+4b}{x}$（a＞0，b＞0）為奇函數(shù)，則f（1）的最小值為（　�。�

• A． 12
• B． 20
• C． 16
• D． 32

Answer 1

分析 由函數(shù)為奇函數(shù)得到a，b的關系式，結合不等式的性質求出ab的最小值，代入f（1）得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=（ab-a-4b-5）x²+$\frac{a+4b}{x}$（a＞0，b＞0）為奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=0，即（ab-a-4b-5）x²-$\frac{a+4b}{x}$+（ab-a-4b-5）x²+$\frac{a+4b}{x}$=0．
∴2（ab-a-4b-5）x² =0，則ab-a-4b-5=0．
即ab-5=a+4b，
∵a＞0，b＞0，
∴ab-5$≥2\sqrt{4ab}=4\sqrt{ab}$，
∴ab-4$\sqrt{ab}$-5≥0，
解得：$\sqrt{ab}≤-1$（舍）或$\sqrt{ab}≥5$．
則ab≥25．
∴f（1）=ab-a-4b-5+a+4b=ab-5≥25-5=20．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性的性質，訓練了不等式性質的應用及一元二次不等式的解法，屬中檔題．