Question

函數f（x）=x-alnx+（a＞0）
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）求使函數f（x）有零點的最小正整數a的值；
（3）證明：ln（n!）-ln2＞（n∈N^*，n≥3）．

Answer 1

（1）解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），=（2分）
∵x＞0，a＞0，
∴由f′（x）≥0得x≥a+1，f′（x）≤0得x≤a+1，
∴f（x）在（0，a+1）上遞減，在（a+1，+∞）上遞增．（4分）
（2）解：∵a∈N^*，∴由（1）知f_min=f（a+1）=a+2-aln（a+1）
∵f（x）有零點，
∴有a+2-aln（a+1）≤0，得ln（a+1）-（1+）≥0
令u（a）=ln（a+1）-（1+），易知u（a）在定義域內是增函數；（6分）
∵u（3）=ln4-＜0，∴，∴4＜，∴4³＜e⁵，而e⁵＞4³成立，∴u（3）＜0
u（4）=ln5-＞0，∴5²＞e³，而5²＞e³成立，∴u（4）＞0
故使函數f（x）有零點的最小正整數a的值為4．（8分）
（3）證明：由（2）知ln（a+1）-（1+）≥0，即ln（a+1）≥（1+），（a≥4），
∴l(xiāng)nn＞1+（n∈N^*，n≥5），ln（n²）＞1+）（n∈N^*，n≥3），
即lnn＞（n∈N^*，n≥3），（11分）
∴l(xiāng)n3+ln4+…+lnn＞（n-2）+
即
∴l(xiāng)n（n!）-ln2＞（n∈N^*，n≥3）．（13分）
分析：（1）確定函數f（x）的定義域為（0，+∞），求導函數，即可確定f（x）的單調區(qū)間；
（2）先求f_min=f（a+1）=a+2-aln（a+1），再利用f（x）有零點，可得ln（a+1）-（1+）≥0，構建函數u（a）=ln（a+1）-（1+），易知u（a）在定義域內是增函數，從而可求函數f（x）有零點的最小正整數a的值；
（3）先證明ln（a+1）≥（1+），進而有l(wèi)nn＞（n∈N^*，n≥3），從而可得ln3+ln4+…+lnn＞（n-2）+，故可得證．
點評：本題以函數為載體，考查函數的單調性，考查函數的零點，考查不等式的證明，用好導數是關鍵．