Question

【題目】如圖所示，正四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為 ．
（1）求側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線PD與AE所成角的正切值；
（3）問在棱AD上是否存在一點(diǎn)F，使EF⊥側(cè)面PBC，若存在，試確定點(diǎn)F的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）取AD中點(diǎn)M，設(shè)PO⊥面ABCD，連MO、PM，則∠PMO為二面角的平面角，∠PAO為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角，tan
設(shè)AB=A,A0=a，PO=AOtan∠PAO=，
∴∠PMO=60°．
（2）連OE，OE∥PD，∠OEA為異面直線PD與AE所成的角．
．
∵a
∴
（3）延長MO交BC于N，取PN中點(diǎn)G，連EG、MG．

取AM中點(diǎn)F，∵EG∥MF∴
∴EF∥MG．
∴EF⊥平面PBC．
即F為四等分點(diǎn).
【解析】（1）取AD中點(diǎn)M，設(shè)PO⊥面ABCD，連MO、PM，則∠PMO為二面角的平面角，設(shè)AB=a，則可利用tan∠PAO表示出AO和PO，進(jìn)而根據(jù)求得tan∠PMO的值，則∠PMO可知．
（2）連OE，OE∥PD，∠OEA為異面直線PD與AE所成的角．根據(jù)AO⊥BO，AO⊥PO判斷出AO⊥平面PBD，進(jìn)而可推斷AO⊥OE，進(jìn)而可知進(jìn)而可知∠AEO為直線PD與AE所成角，根據(jù)勾股定理求得PD，進(jìn)而求得OE，則tan∠AEO可求得．
（3）延長MO交BC于N，取PN中點(diǎn)G，連EG、MG．先證出平面PMN和平面PBC垂直，再通過已知條件證出MG⊥平面PBC，取AM中點(diǎn)F，利用EG∥MF，推斷出 ， 可知EF∥MG．最后可推斷出EF⊥平面PBC．即F為四等分點(diǎn)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角和直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題．