Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是AA₁、CC₁的中點，則
（1）異面直線D₁C₁與BD所成的角的大小是

 

；
（2）求證：BD∥平面B₁D₁E；
（3）求證：平面BDF∥平面B₁D₁E．

Answer 1

考點：平面與平面平行的判定,異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由條件利用正方體的性質，可得異面直線D₁C₁與BD所成的角即∠BDC，從而得到答案．
（2）由正方體的性質可得BD∥B₁D₁，再利用直線和平面平行的判定定理證得 BD∥平面B₁D₁E．
（3）證明BF∥D₁E，利用直線和平面平行的判定定理證得BF∥平面B₁D₁E．結合（2）的結論以及BF∩BD=B，利用平面和平面平行判定定理證得平面BDF∥平面B₁D₁E．

解答： 解：（1）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由于D₁C₁∥DC，故異面直線D₁C₁與BD所成的角即∠BDC，
而∠BDC=45°，∴異面直線D₁C₁與BD所成的角的大小是45°，
故答案為：45°．
（2）由正方體的性質可得BD∥B₁D₁，而B₁D₁?平面B₁D₁E，BD不在平面B₁D₁E內，
∴BD∥平面B₁D₁E．
（3）取DD₁的中點M，則D₁E∥MA，而MA∥BF，∴BF∥D₁E．
而D₁E?平面B₁D₁E，BF不在平面B₁D₁E中，故有BF∥平面B₁D₁E．
再由BD∥平面B₁D₁E，且BF∩BD=B，∴平面BDF∥平面B₁D₁E．

點評：本題主要考查求異面直線所成的角，直線和平面平行的判定定理、平面和平面平行判定定理的應用，屬于基礎題．