Question

設(shè)數(shù)列{a_n}（n=1，2，…）是等差數(shù)列，且公差為d，若數(shù)列{a_n}中任意（不同）兩項之和仍是該數(shù)列中的一項，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”．
（Ⅰ）若a₁=4，d=2，求證：該數(shù)列是“封閉數(shù)列”；
（Ⅱ）試判斷數(shù)列an=2n-7(n∈N*)是否是“封閉數(shù)列”，為什么？
（Ⅲ）設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，若公差d=1，a₁＞0，試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使

137

150

＜

1

S1

+

1

S2

+…+

1

S2011

＜

11

9

．若存在，求{a_n}的通項公式；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）求出數(shù)列的通項，利用定義驗證可得結(jié)論；
（II）利用定義，可得a_n=a₁+a₂=-8，即n=-

1

2

，從而可得結(jié)論；
（III）確定a₁=p-m-n+1為整數(shù)，分類討論，即可得出結(jié)論．

解答：（I）證明：∵a₁=4，d=2，
∴a_n=2n+2，
對任意的m，n∈N₊，有a_m+a_n=2（m+n+1）+2
于是，令p=m+n+1，則有a_p=2p+2∈{a_n}；
（II）解：∵a₁=-5，a₂=-3
∴a₁+a₂=-8，
令a_n=a₁+a₂=-8，∴n=-

1

2

，
∴數(shù)列an=2n-7(n∈N*)不是封閉數(shù)列；
（III）解：由{a_n}是“封閉數(shù)列”，得：對任意m，n∈N₊，必存在p∈N₊，使a₁+（n-1）+a₁+（m-1）=a₁+（p-1）成立，于是有a₁=p-m-n+1為整數(shù)，
又∵a₁＞0
∴a₁是正整數(shù)．
若a₁=1則Sn=

n(n+1)

2

，所以

1

S1

+

1

S2

+…+

1

S2011

=2(1-

1

2012

)＞

11

9

，不符合題意
若a₁=2，則Sn=

n(n+3)

2

，所以，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

S2011

=

2

3

(1+

1

2

+

1

3

-

1

2012

-

1

2013

-

1

2014

)=

11

9

-

2

3

(

1

2012

+

1

2013

+

1

2014

)
而

11

9

-

2

3

(

1

2012

+

1

2013

+

1

2014

)＞

11

9

-

2

3

•

3

2012

=

11

9

-

1

1006

＞

137

150

，
所以符合
若a₁=3，則Sn=

n(n+5)

2

，所以

1 S1 + 1 S2 +…+ 1 S2011 = 2 5 (1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 - 1 2012 - 1 2013 - 1 2014 - 1 2015 - 1 2016 ) = 137 150 - 2 5 ( 1 2012 + 1 2013 + 1 2014 + 1 2015 + 1 2016 )＜ 137 150

綜上所述，a₁=2，a_n=n+1，顯然，該數(shù)列是“封閉數(shù)列”．

點評：本題考查新定義，考查數(shù)列的通項與求和，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．