Question

α，β是方程x²+ax+2b=0的兩根，且α∈[0，1]，β∈[1，2]，a，b∈R，則

b-3

a-1

的最大值和最小值分別是

 

和

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由韋達(dá)定理和不等式的性質(zhì)易得∴a∈[-3，-1]，b∈[0，1]，而

b-3

a-1

表示區(qū)域ABCD內(nèi)的點(diǎn)與E（1，3）連線(xiàn)的斜率，數(shù)形結(jié)合可得．

解答： 解：∵α，β是方程x²+ax+2b=0的兩根，
∴α+β=-a，αβ=2b，
∵α∈[0，1]，β∈[1，2]，
∴α+β∈[1，3]，αβ∈[0，2]，
∴a∈[-3，-1]，b∈[0，1]，
∴點(diǎn)（a，b）表示的區(qū)域?yàn)榫匦蜛BCD及邊界（如圖），
而

b-3

a-1

表示區(qū)域ABCD內(nèi)的點(diǎn)與E（1，3）連線(xiàn)的斜率，
由圖象可知：當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）時(shí)，直線(xiàn)的斜率最大為

3

2

，
當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（-3，1）時(shí)，直線(xiàn)的斜率最小為1，
故答案為：

3

2

；1

點(diǎn)評(píng)：本題考查選項(xiàng)規(guī)劃，涉及直線(xiàn)的斜率與不等式的性質(zhì)，準(zhǔn)確作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．