Question

如圖，三棱柱A₁B₁C₁-ABC的三視圖，主視圖和側(cè)視圖是全等的矩形，俯視圖是等腰直角三角形，點M是A₁B₁的中點．
（I）求證：B₁C∥平面AC₁M；
（II）求證：平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B．

Answer 1

證明：（I）由三視圖可知三棱柱A₁B₁C₁-ABC為直三棱柱，底面是等腰直角三角形且∠ACB=90°，連接A₁C，設(shè)A₁C∩AC₁=O．連接MO，由題意可知A₁O=CO，A₁M=B₁M，所以MO∥B₁C．
∵MO?平面AC₁M，B₁C?平面AC₁M
∴B₁C∥平面AC₁M；
（II）∵A₁C₁=B₁C₁，點M是A₁B₁的中點
∴C₁M⊥A₁B₁，
∵平面A₁B₁C₁⊥平面AA₁B₁B，平面A₁B₁C₁∩平面AA₁B₁B=A₁B₁，
∴C₁M⊥平面AA₁B₁B
∵C₁M?平面AC₁M
∴平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B．
分析：（I）由三視圖確定直觀圖的形狀，連接A₁C，設(shè)A₁C∩AC₁=O，連接MO，證明MO∥B₁C，利用線面平行的判定，可得B₁C∥平面AC₁M；
（II）先證明C₁M⊥平面AA₁B₁B，再證明平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B．
點評：本題考查線面平行，考查面面垂直，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判定，掌握面面垂直的證明方法．