Question

已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，右焦點為 （2

2

，0）．斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P（-3，2）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，右焦點為 （2

2

，0），知

c a = 6 3 c=2 2

，由此能求出橢圓G的方程．
（Ⅱ）設(shè)l：y=x+b，代入

x2

12

+

y2

4

=1，得4x²+6bx+3b²-12=0，根據(jù)韋達定理xA+xB=-

3b

2

，xA•xB=

3b2-12

4

，故y_A+y_B=

b

2

，由此能求出△PAB的面積．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，右焦點為 （2

2

，0），
∴

c a = 6 3 c=2 2

，解得a=2

3

，
∴b=

12-8

=2，
∴橢圓G的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）設(shè)l：y=x+b，
代入

x2

12

+

y2

4

=1，得4x²+6bx+3b²-12=0，
根據(jù)韋達定理xA+xB=-

3b

2

，xA•xB=

3b2-12

4

，
∴y_A+y_B=

b

2

，
設(shè)M為AB的中點，則M（-

3b

4

，

b

4

），AB的中垂線的斜率k=-1，
∴AB的中垂線：x+y+

b

2

=0，將P（-3，2）代入，得b=2，
∴l(xiāng)：x-y+2=0，根據(jù)弦長公式可得AB=3

2

，d=

3

2

，
∴S_△PAB=

1

2

×3

2

×

3

2

=

9

2

．

點評：本題考查橢圓方程和三角形面積的求法，具體涉及到橢圓的簡單性質(zhì)、直線和橢圓的位置關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式、中垂線方程的求法、弦長公式等基本知識點，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的靈活運用．