對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)=x0成立，則稱x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0). 

(1)當(dāng)a=1,b=-2時(shí)，求函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)；

(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍.

解：（1）當(dāng)a=1,b=-2時(shí)，f(x)=x2-x-3.

由題意可知x=x2-x-3，

得x1=-1,x2=3.

故當(dāng)a=1,b=-2時(shí)，f(x)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為-1,3.

（2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，

∴x=ax2+(b+1)x+(b-1),

即ax2+bx+(b-1)=0恒有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，得Δ=b2-4ab+4a＞0（b∈R）恒成立.

于是Δ′=（4a）2-16a＜0,

解得0＜a＜1.

故當(dāng)b∈R，f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為0＜a＜1.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（08年黃岡中學(xué)一模理） (本小題滿分14分)對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在，使成立，則稱x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn). 如果函數(shù)有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0，2，且

（1）試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知各項(xiàng)不為零且不為1的數(shù)列{an}滿足，求證：；

（3）設(shè)，為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求證：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

       對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，則稱x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)  已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)

（1）若a=1,b=–2時(shí)，求f(x)的不動(dòng)點(diǎn)；

（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若y=f(x)圖像上A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，且A、B關(guān)于直線y=kx+對(duì)稱，求b的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)．如果函數(shù)

f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)x1，x2．

⑴若x1<1<x2，且f(x)的圖象關(guān)于直線x＝m對(duì)稱，求證：<m<1；

⑵若|x1|<2且|x1－x2|＝2，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆湖南師大附中高三第二次月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

對(duì)于函數(shù)f(x)，若在其定義域內(nèi)存在兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b(a＜b)，使當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f(x)的值域也是[a，b]，則稱函數(shù)f(x)為“布林函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為函數(shù)f(x)的“等域區(qū)間”.

（1）布林函數(shù)的等域區(qū)間是         .

（2）若函數(shù)是布林函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是           .

 

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(本小題滿分6分）對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在x0ÎR，使f(x0)＝x0成立，則稱點(diǎn)(x0，x0)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx-b有不動(dòng)點(diǎn)(1,1)和(-3,-3)，求a、b的值。

 

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