Question

如圖所示，某動(dòng)物園要為剛?cè)雸@的小老虎建造一間兩面靠墻的三角形露天活動(dòng)室，已知已有的兩面墻的夾角為60°（即∠C=60°且兩面墻的長度足夠大），現(xiàn)有可供建造第三面圍墻的材料6米（即AB長為6米），為了使得小老虎能健康成長，要求所建造的三角形露天活動(dòng)室盡可能大，記∠ABC=θ．
（1）當(dāng)θ=105°時(shí)，求所建造的三角形露天活動(dòng)室的面積．
（2）問當(dāng)θ為多少時(shí)，所建造的三角形露天活動(dòng)室的面積最大？

Answer 1

分析：由正弦定理易得，AC=4

3

•sinθ，BC=4

3

•sin(θ+

π

3

)
（1）當(dāng)θ=105°時(shí)，我們易求出AC及BC的長，然后根據(jù)S△ABC=

1

2

AC•BC•sin

π

3

計(jì)算出三角形的面積；
（2）我們可以根據(jù)S△ABC=

1

2

AC•BC•sin

π

3

，我們可以構(gòu)造出S關(guān)于θ的函數(shù)，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，易得三角形露天活動(dòng)室的最大面積，及對(duì)應(yīng)θ的值．

解答：解：在△ABC中，

AC

sinθ

=

AB

sin π 3

=

BC

sin(θ+ π 3 )

（2分）
化簡得：AC=4

3

•sinθ，BC=4

3

•sin(θ+

π

3

)（3分）
（1）當(dāng)θ=105°時(shí)AC=4

3

•sinθ=4

3

sin105°=4

3

cos15°
BC=4

3

•sin(θ+

π

3

)=4

3

sin165°=4

3

sin15°
所以S△ABC=

1

2

AC•BC•sin

π

3

=3

3

（6分）
（2）S△ABC=

1

2

AC•BC•sin

π

3

=12

3

•sinθ•sin(θ+

π

3

)=12

3

sinθ•(

1

2

sinθ+

3

2

cosθ)
=6

3

(sin2θ+

3

sinθ•cosθ)=6

3

(

1-cos2θ

2

+

3

2

sin2θ)（8分）
=6

3

•[

1

2

+sin(2θ-

π

6

)]
即S△ABC=6

3

•sin(2θ-

π

6

)+3

3

（10分）
所以當(dāng)2θ-

π

6

=

π

2

，即θ=

π

3

時(shí)，（S_△ABC）_max=9

3

（12分）
答：當(dāng)θ=60^°時(shí)，所建造的三角形露天活動(dòng)室的面積最大．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型，及解三角形的應(yīng)用，其中根據(jù)S△ABC=

1

2

AC•BC•sin

π

3

，構(gòu)造S關(guān)于θ的函數(shù)解析式，是解答的關(guān)鍵．