Question

函數(shù)y=x²（x＞0）的圖象在點（a_k，a_k²）處的切線與x軸交點的橫坐標為a_k+1（ k為正整數(shù)），其中a₁=16．設正整數(shù)數(shù)列{b_n}滿足：，當n≥2時，有．
（Ⅰ）求b₁，b₂，b₃，b₄的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的通項；
（Ⅱ）記，證明：對任意n∈N*，．

Answer 1

解：（Ⅰ）在點（a_k，a_k²）處的切線方程為：y﹣a_k²=2a_k（x﹣a_k），
當y=0時，解得，所以，
又∵a₁=16，
∴a₂=8，a₃=4，a₄=2

n=2時，，
由已知b₁=2，b₂=6，得|36﹣2a₃|＜1，
因為b₃為正整數(shù)，所以b₃=18，同理b₄=54
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：b_n=2·3^n﹣1
證明：①n=1，2時，命題成立；
②假設當n=k﹣1與n=k（k≥2且k∈N）時成立，即b_k=2·3^k﹣1，b_k﹣1=2·3^k﹣2．
于是，整理得：
由歸納假設得：
因為b_k+1為正整數(shù)，所以b_k+1=2·3^k
即當n=k+1時命題仍成立．
綜上：由知①②知對于n∈N*，有b_n=2·3^n﹣1成立
（Ⅲ）證明：由③
得④
③式減④式得⑤
⑥
⑤式減⑥式得

=﹣1+2
=1+2
=
=
則．