Question

已知中心在原點，頂點A₁、A₂在x軸上，其漸近線方程是y=±x，雙曲線過點P（6，6）．
（1）求雙曲線方程
（2）動直線l經(jīng)過△A₁PA₂的重心G，與雙曲線交于不同的兩點M、N，問是否存在直線l，使G平分線段MN，證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出雙曲線方程，利用漸近線方程是y=±x，雙曲線過點P（6，6），建立方程組，求出幾何量，即可得到雙曲線的方程；
（2）利用點差法，結(jié)合韋達定理求出直線方程，利用判別式進行驗證，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）如圖，設雙曲線方程為…（1分）
由已知漸近線方程是y=±x，雙曲線過點P（6，6），得…（3分）
解得…（5分）
所以所求雙曲線方程為 …（6分）
（2）P、A₁、A₂的坐標依次為（6，6）、（3，0）、（-3，0），
∴其重心G的坐標為（2，2）…（8分）
假設存在直線l，使G（2，2）平分線段MN，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）  則有x₁+x₂=4，y₁+y₂=4
∵，
∴兩式相減可得，∴k_l=…（10分）
∴l(xiāng)的方程為y=（x-2）+2（12分）
代入橢圓方程，消去y，整理得x²-4x+28=0 
∵△=16-4×28＜0，∴所求直線l不存在 …（14分）
點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查點差法的運用，考查學生方程解決問題的能力，正確運用點差法是關(guān)鍵．