Question

（1）證明兩角差的余弦公式C_（α-β）：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）若cosα=-

3

5

，α∈（0，π），求cos（α-

π

4

）的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）如圖，當α、β為銳角時，作出角α、β，其終邊分別交單位圓于A、B兩點，由于

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|cos（α-β）=cos（α-β），又

OA

•

OB

=cosαcosβ+sinαsinβ，可得要證的等式成立．由誘導(dǎo)公式可以得到α、β為任意角時上式也成立．
（Ⅱ）根據(jù)α的范圍求得cosα和sinα的值，再根據(jù)cos（α-

π

4

）=cosαcos

π

4

+sinαsin

π

4

．計算求得結(jié)果

解答： 解：（Ⅰ）如圖，在直角坐標系xoy中作單位圓O，當α、β為銳角時，
作出角α、β，其終邊分別交單位圓于A、B兩點，
則A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），
∵

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|cos（α-β）=cos（α-β），
再根據(jù)兩個向量的數(shù)量積公式可得

OA

•

OB

=cosαcosβ+sinαsinβ，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
由誘導(dǎo)公式可以得到α、β為任意角時上式也成立．
（Ⅱ）∵α∈（0，π），cosα=-

3

5

，∴sinα=

4

5

．
∴cos（α-

π

4

）=cosαcos

π

4

+sinαsin

π

4

=-

3

5

×

2

2

+

4

5

×

2

2

=

2

10

．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，數(shù)量積公式，兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．