Question

已知sin(π+α)=-

10

10

，0＜α＜

π

2

，sin(

π

2

-β)=-

2 5

5

，π＜β＜

3π

2

，求α+β的值．

Answer 1

分析：利用誘導(dǎo)公式sin（π+α）=-sinα化簡(jiǎn)已知的第一個(gè)等式，得到sinα的值，再根據(jù)α的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα的值，同理根據(jù)誘導(dǎo)公式sin（

π

2

-α）=cosα化簡(jiǎn)已知的第二個(gè)等式，求出cosβ的值，由β的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinβ的值，然后利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)cos（α+β），將各自的值代入求出cos（α+β）的值，由α+β的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出α+β的值．

解答：解：∵sin(π+α)=-

10

10

，
∴sinα=

10

10

，又0＜α＜

π

2

∴cosα=

1-sin2α

=

3 10

10

，
又sin(

π

2

-β)=-

2 5

5

，
∴cosβ=-

2 5

5

，又π＜β＜

3π

2

，
∴sinβ=-

5

5

，
∴cos（α+β）
=cosαcosβ-sinαsinβ
=

3 10

10

×（-

2 5

5

）-

10

10

×（-

5

5

）
=-

2

2

，
又∵π＜α+β＜2π，
∴α+β=

5π

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)注意角度的范圍．