Question

【題目】已知圓C經(jīng)過P(4，－2)，Q(－1,3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4，半徑小于5.

（Ⅰ）求直線PQ與圓C的方程；

（Ⅱ）若直線l∥PQ，直線l與圓C交于點A，B且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）x+y-2=0，（x-1）2+y2=13；（2）x+y-4=0或x+y+3=0。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）直線PQ的方程為：x＋y－2＝0，

設圓心C(a，b)半徑為r，

由于線段PQ的垂直平分線的方程是y－＝x－，即y＝x－1，

所以b＝a－1. ①

又由在y軸上截得的線段長為4，知r2＝12＋a2，

可得(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2， ②

由①②得： a＝1，b＝0或a＝5，b＝4.

當a＝1，b＝0時，r2＝13滿足題意，

當a＝5，b＝4時，r2＝37不滿足題意，

故圓C的方程為(x－1)2＋y2＝13.

（Ⅱ）設直線l的方程為y＝－x＋m，A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)，

由題意可知OA⊥OB，即＝0，

∴x1x2＋(m－x1)(m－x2)＝0， 化簡得2x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝0. ③

由得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0，

∴x1＋x2＝m＋1，x1x2＝.

代入③式，得m2－m·(1＋m)＋m2－12＝0，

∴m＝4或m＝－3，經(jīng)檢驗都滿足判別式Δ>0，

∴y＝－x＋4或y＝－x－3.