Question

17．設(shè)數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a₀=1，b₀=0，且$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}=7{a}_{n}+6_{n}-3}\\{_{n+1}=8{a}_{n}+7_{n}-4}\end{array}\right.$（n∈N），求證：a_n是完全平方數(shù)．

Answer 1

分析 a₀=1，b₀=0，且$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}=7{a}_{n}+6_{n}-3}\\{_{n+1}=8{a}_{n}+7_{n}-4}\end{array}\right.$（n∈N），可得a₁=4，b₁=4，由7a_n+1=49a_n+42b_n-21，6b_n+1=48a_n+42b_n-24，相減可得：6b_n+1-7a_n+1=-a_n-3，當(dāng)n≥2時，b_n=$\frac{1}{6}（7{a}_{n}-{a}_{n-1}-3）$．代入可得：a_n+1=7a_n+7a_n-a_n-1-6，化為${a}_{n+1}-\frac{1}{2}$=$14（{a}_{n}-\frac{1}{2}）$-$（{a}_{n-1}-\frac{1}{2}）$，令${a}_{n}-\frac{1}{2}$=c_n，則c_n+1=14c_n-c_n-1，c₁=$\frac{1}{2}$，c₂=$\frac{97}{2}$．其特征方程為：x²-14x+1=0．解得x=7$±4\sqrt{3}$．令c_n=r₁$（7+4\sqrt{3}）^{n}$+${r}_{2}（7-4\sqrt{3}）^{n}$，分別令n=1，2，可得r₁=r₂=$\frac{1}{4}$．可得a_n．再利用二項(xiàng)式定理展開即可證明．

解答 解：∵a₀=1，b₀=0，且$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}=7{a}_{n}+6_{n}-3}\\{_{n+1}=8{a}_{n}+7_{n}-4}\end{array}\right.$（n∈N），
∴a₁=7a₀+6b₀-3=4，b₁=8a₀+7b₀-4=4，
a₂=7a₁+6b₁-3=49，b₂=8a₁+7b₁-4=56．
a₃=7a₂+6b₂-3=676．
由7a_n+1=49a_n+42b_n-21，6b_n+1=48a_n+42b_n-24，
相減可得：6b_n+1-7a_n+1=-a_n-3，
可得b_n+1=$\frac{1}{6}$（7a_n+1-a_n-3），
當(dāng)n≥2時，b_n=$\frac{1}{6}（7{a}_{n}-{a}_{n-1}-3）$，
代入可得：a_n+1=7a_n+7a_n-a_n-1-6，
化為${a}_{n+1}-\frac{1}{2}$=$14（{a}_{n}-\frac{1}{2}）$-$（{a}_{n-1}-\frac{1}{2}）$，
令${a}_{n}-\frac{1}{2}$=c_n，
則c_n+1=14c_n-c_n-1，c₁=$\frac{1}{2}$，c₂=$\frac{97}{2}$．
其特征方程為：x²-14x+1=0．解得x=7$±4\sqrt{3}$．
令c_n=r₁$（7+4\sqrt{3}）^{n}$+${r}_{2}（7-4\sqrt{3}）^{n}$，
分別令n=1，2，
∴$\frac{7}{2}$=${r}_{1}（7+4\sqrt{3}）+{r}_{2}（7-4\sqrt{3}）$，
$\frac{97}{2}$=${r}_{1}（7+4\sqrt{3}）^{2}$+${r}_{2}（7-4\sqrt{3}）^{2}$，
解得r₁=r₂=$\frac{1}{4}$．
∴${a}_{n}={c}_{n}+\frac{1}{2}$=$\frac{（7+4\sqrt{3}）^{n}}{4}$+$\frac{（7-4\sqrt{3}）^{n}}{4}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}[（2+\sqrt{3}）^{2n}+（2-\sqrt{3}）^{2n}]$+$\frac{1}{2}$=$[\frac{（2+\sqrt{3}）^{n}}{2}+\frac{（2-\sqrt{3}）^{n}}{2}]^{2}$．
而$\frac{（2+\sqrt{3}）^{n}+（2-\sqrt{3}）^{n}}{2}$為整數(shù)，
∴a_n是完全平方數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、數(shù)列的特征方程、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、完全平方數(shù)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．