Question

已知向量

a

=(sinx，1)，

b

=(sinx，cosx-

9

8

)，設(shè)函數(shù)f(x)=

a

•

b

，x∈[0，π]
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）=0在區(qū)間[0，π]上有兩個(gè)不同的根α，β，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）由題意，可先由向量的數(shù)量積運(yùn)算及三角恒等變換，得出f(x)=-(cosx-

1

2

)2+

1

8

，由此函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，分類討論cosx的取值范圍，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷規(guī)則判斷出單調(diào)性區(qū)間；
（2）法一：f（x）=0在區(qū)間[0，π]上有兩個(gè)不同的根α，β，可得cos2x-cosx+

1

8

=0有兩個(gè)根，此兩根為cosα，cosβ，由根與系數(shù)的關(guān)系cosα+cosβ=1，cosα•cosβ=

1

8

，再由由到角三角函數(shù)關(guān)系，解出sinαsinβ=

17

8

易求cos（α+β）的值；
法二：f（x）=0在區(qū)間[0，π]上有兩個(gè)不同的根α，β，可得cos2x-cosx+

1

8

=0有兩個(gè)根，此兩根為cosα，cosβ，解一元二次方程cos2x-cosx+

1

8

=0可得出cosα，cosβ的值，再解出兩角的正弦值，代入cos（α+β）的展開式，即可求cos（α+β）的值

解答：解：（1）∵f(x)=sin2x+cosx-

9

8

=1-cos2x+cosx-

9

8

=-cos2x+cosx-

1

8

∴f(x)=-(cosx-

1

2

)2+

1

8

令t=cosx，
當(dāng)x∈[0，

π

3

]時(shí)，

1

2

≤t≤1，且t=cosx為減函數(shù)
又f(t)=-(t-

1

2

)2+

1

8

在[

1

2

，1]上時(shí)減函數(shù)，
∴f（x）在[0，

π

3

]上是增函數(shù)
當(dāng)x∈[

π

3

，π]時(shí)，-1≤t≤

1

2

，且t=cosx為減函數(shù)
又f(t)=-(t-

1

2

)2+

1

8

在[-1，

1

2

]上時(shí)增函數(shù)，
∴f（x）在[

π

3

，π]上是減函數(shù)
綜上，f（x）的單調(diào)區(qū)間為[0，

π

3

]，[

π

3

，π]
（2）法一：由f（x）=0得，-cos2x+cosx-

1

8

=0，即cos2x-cosx+

1

8

=0
令t=cosx，則cosα，cosβ是方程t2-t+

1

8

=0的兩個(gè)根，從而cosα+cosβ=1，cosα•cosβ=

1

8

sin²α•sin²β=（1-cos²α）（1-cos²β）=1-（cos²α+cos²β）+cos²α•cos²β=1-(cosα+cosβ)2+2cosα•cosβ+cos2α•cos2β=

17

64

∴sinαsinβ=

17

8

，
∴cos(α+β)=cosα•cosβ-sinα•sinβ=

1- 17

8

法二：由f（x）=0得，-cos2x+cosx-

1

8

=0，即cos2x-cosx+

1

8

=0
不妨設(shè)cosα=

2- 2

4

，cosβ=

2+ 2

4

，
則sinα=

1-cos2α

=

10+4 2

4

，sinβ=

10-4 2

4

，
∴cos(α+β)=cosα•cosβ-sinα•sinβ=

1- 17

8

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量與三角函數(shù)的綜合題，考查了平面向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷，解三角方程，兩角和與差的余弦函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)量積公式及三角恒等變換公式，一元二次方程的解法，根與系數(shù)的關(guān)系等知訓(xùn)，本題的難點(diǎn)是第一問(wèn)中對(duì)函數(shù)單調(diào)敬意的求解，由于本題的函數(shù)是內(nèi)層為單調(diào)性函數(shù)，外層函數(shù)不是單調(diào)性函數(shù)，解題時(shí)由外而內(nèi)，根據(jù)外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間確定出內(nèi)層函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間即可得出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，題后注意總結(jié)這類題的解題的規(guī)律，本題運(yùn)算量大，綜合性強(qiáng)，考查了推理判斷的能力及計(jì)算能力，分類討論的思想，方程的思想