Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知底面ABCD是平行四邊形，且PA⊥底面ABCD，BD⊥PC，E是PA的中點．
（1）求證：平面PAC⊥平面EBD；
（2）若PA=AB=AC=2，求三棱錐P-EBD的高．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)線面的垂直轉化成線線垂直，進一步利用線面垂直的判定得到線面垂直，進一步轉化成面面垂直．
（2）利用（1）的結論得到平行四邊形ABCD為菱形，進一步求出${S}_{△ABD}=\sqrt{3}$和${S}_{△EBD}=\sqrt{6}$，最后利用錐體的體積公式求出錐體的高．

解答 證明：（1）在四棱錐P-ABCD中，已知底面ABCD是平行四邊形，且PA⊥底面ABCD，
BD?平面ABCD，
則：PA⊥BD，
又BD⊥PC，
所以：BD⊥平面PAC．
由于BD?平面EBD，
所以：平面PAC⊥平面EBD．
（2）由（1）得到：BD⊥平面PAC，
所以：BD⊥AC．
所以：平行四邊形ABCD為菱形．
由于PA=AB=AC=2，
所以：∠BAD=120°，
S_△ABD=$\frac{1}{2}AC•\frac{1}{2}BD$=$\sqrt{3}$
E是PA的中點．連接OE，
得到：BD⊥OE．
所以：PC=$\sqrt{{PA}^{2}+{AC}^{2}}=2\sqrt{2}$，
所以：$OE=\frac{1}{2}PC=\sqrt{2}$，
S_△EBD=$\frac{1}{2}$BD•OE=$\sqrt{6}$．
設三棱錐P-EBD的高為h，則：V_P-EBD=V_E-ABD，
$\frac{1}{3}{S}_{△EBD}•h=\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•AE$，
解得：h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查的知識要點：線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，錐體的體積公式的應用．及相關的運算問題．