Question

（2013•石家莊二模）已知函數(shù)f（x）=ax-x³，對區(qū)間（0，1）上的任意x₁，x₂，且x₁＜x₂，都有f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

A．（0，1）

B．[4．+∞）

C．（0，4]

D．（1，4]

Answer 1

分析：先確定函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上f′（x）＞1，再求導(dǎo)函數(shù)，利用分離參數(shù)法，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵對區(qū)間（0，1）上的任意x₁，x₂，且x₁＜x₂，都有f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁成立，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上f′（x）＞1
∵f（x）=ax-x³，
∴f′（x）=a-3x²，
∴a-3x²≥1在區(qū)間（0，1）上恒成立
∴a≥4
故選B．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上f′（x）＞1是解題的關(guān)鍵．