【題目】已知函數(shù)f（x）= ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a＞0時，設(shè)g（x）=（x2﹣2x）ex ， 求證：對任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）成立．

【答案】
（1）解：因?yàn)閒（x）= x2﹣3x+2lnx，x＞0，

所以f′（x）=x﹣3+ = ，

令f′（x）=0，解得x=1，或x=2，

當(dāng)f′（x）＞0時，解得0＜x＜1或x＞2，

當(dāng)f′（x）＜0時，解得1＜x＜2，

所以其單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，2）


（2）解：若要命題成立，只需當(dāng)x∈（0，2]時，f（x）max＜g（x）max．由g′（x）=（x2﹣2）ex，

可知，當(dāng)x∈（0，2]時，g（x）在區(qū)間（0， ）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（ ，2]上單調(diào)遞增，

g（0）=g（2）=0，故g（x）max=0，

所以只需f（x）max＜0．

對函數(shù)f（x）來說，f′（x）=ax﹣（2a+1）+ = ．

①當(dāng) ≥2時，即 0＜a≤ ，函數(shù)f（x）在區(qū)間x∈（0，2]上單調(diào)遞增，

所以，f（x）max=f（2）=﹣2a﹣2+2ln2＜0，

所以，a＞ln2﹣1 即0＜a≤ ，

②當(dāng)0＜ ＜2時，即a＞ ，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0， ）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（ ，2]上單調(diào)遞減，

所以f（x）max=f（ ）=﹣2lna﹣ ﹣2．

當(dāng)a≥1時，顯然小于0，滿足題意；

當(dāng) ＜a＜1時，可令h（a）=﹣2lna﹣ ﹣2，

所以h′（a）= ，

可知該函數(shù)在a∈（ ，1）時單調(diào)遞減，h（a）＜h（ ）=2ln2﹣3＜0，滿足題意，

所以a＞ 滿足題意．

綜上所述：當(dāng)a＞0時，對任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）成立．

方法二：f（x）= ax2﹣（2a+1）x+2lnx= ﹣（x﹣2lnx），

因?yàn)閍＞0，x∈（0，2]，

所以 ＜0

令h（x）=x﹣2lnx，則h′（x）=1﹣ = ，

所以h（x）在（0，2]為單調(diào)遞減，h（x）≥h（2）=2﹣2ln2＞0，

因此，在a＞0，x∈（0，2]時，f（x）＜0，

故當(dāng)a＞0時，對任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）成立．


【解析】（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間；（2）問題轉(zhuǎn)化為f（x）max＜g（x）max ， 根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系求出g（x）max=0，再對a進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系即可證明．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．

練習(xí)冊系列答案
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【題目】設(shè)集合A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|3≤x≤22}，
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【題目】對于函數(shù)f（x），若a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）為某一三角形的三邊長，則稱f（x）為“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，已知函數(shù)f（x）= 是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（ ）
A.[0，+∞）
B.[0，1]
C.[1，2]
D.

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【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．
（1）若f（1）＞0，試求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；
（2）若f（1）= ，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值為﹣2，求m的值．

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【題目】如圖，平行四邊形中， ， ， ， ， 分別為， 的中點(diǎn)，

平面.

（1）求證： 平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】已知命題p：x∈[1，2]，x2≥a；命題q：x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命題p∧q是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.a≤﹣2或a=1
B.a≤﹣2或1≤a≤2
C.a≥1
D.﹣2≤a≤1

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【題目】函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）處的切線的斜率分別是kA ， kB ， 規(guī)定φ（A，B）= 叫曲線y=f（x）在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”，給出以下命題： 1）函數(shù)y=x3﹣x2+1圖象上兩點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為1，2，則φ（A，B）＞ ；
2）存在這樣的函數(shù)，圖象上任意兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù)；
3）設(shè)點(diǎn)A、B是拋物線，y=x2+1上不同的兩點(diǎn)，則φ（A，B）≤2；
4）設(shè)曲線y=ex上不同兩點(diǎn)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），且x1﹣x2=1，若tφ（A，B）＜1恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（﹣∞，1）；
以上正確命題的序號為（寫出所有正確的）

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【題目】已知函數(shù)y=f（x）（x≠0）對于任意的x，y∈R且x，y≠0滿足f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1），f（﹣1）的值；
（2）求證：y=f（x）為偶函數(shù)；
（3）若y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，解不等式 ．

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【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.

（1）求的值；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).證明：對任意.

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