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已知函數f（x）=lnx，g（x）=
1
2
x2+mx+
7
2
（m＜0），
（I）若直線l與函數f（x），g（x）的圖象都相切，且與函數f（x）的圖象的切點的橫坐標為1，求直線l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g′（x）其中g′（x）是g（x）的導函數，求函數h（x）的最大值；
（Ⅲ）當0＜a＜b，求證：f（a+b）-f（2b）＜
a-b
2b
．
分析：（I）利用導數的幾何意義求相應的切線方程及m的值；
（Ⅱ）利用函數的最值和導數之間的關系求函數h（x）的最大值；
（Ⅲ）利用作差法證明不等式．
解答：解：（Ⅰ）依題意知，直線l是函數f（x）=lnx在（1，0）處的切線方程，故其斜率k=f'（1）=1，
所以直線l的方程為y=x-1．
又因為直線l與g（x）的圖象相切，所以由
y=x-1
y=
1
2
x2+mx+
7
2
，得
1
2
x2+(m-1)x+
9
2
=0，
得△=（m-1）2-9=0，解得m=-2或m=4（舍去）．
（Ⅱ）因為h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x-m，（x＞-1），
所以h′(x)=
1
x+1
-1=-
x
x+1
，當-1＜x＜0時，h'（x）＞0，此時函數單調遞增，
當x＞0時，h'（x）＜0，此時函數單調遞減，
因此，當x=0時，函數h（x）取得最大值h（0）=-m．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，取m=-1，
當-1＜x＜0時，h（x）＜2，即ln（1+x）＜x，
當0＜a＜b時，-1＜
a-b
2b
＜0．
因此有f（a+b）-f（2b）=ln
a+b
2b
=ln(1+
a-b
2b
)＜
a-b
2b
．
所以不等式成立．
點評：本題主要考查函數的性質和導數之間的關系，綜合性較強，運算量較大．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數a的不同取值，寫出該函數的單調增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數在（0，
6
）上單調遞減，在（
6
，+∞）上單調遞增，求a的值并寫出函數的解析式；
（3）記（2）中的函數圖象為曲線C，試問是否存在經過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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