定義在上的單調(diào)函數(shù)滿足,且對(duì)任意都有
(1)求證:為奇函數(shù);
(2)若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)證明見試題解析;(2)

試題分析:(1)這是抽象函數(shù)問題,要證明它是奇函數(shù),當(dāng)然要根據(jù)奇函數(shù)的定義,證明,由此在已知式里設(shè),從而有,因此我們還要先求出,這個(gè)只要設(shè)或者有一個(gè)為0即可得,故可證得為奇函數(shù);(2)不等式可以利用為奇函數(shù)的結(jié)論,變形為,再利用函數(shù)的單調(diào)性去掉符號(hào)“”,轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式恒成立問題,即對(duì)任意成立,這時(shí)還需要用換元法(設(shè))變化二次不等式怛成立,當(dāng)然不要忘記的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)證明:∵         ①
,代入①式,得
,代入①式,得,又
則有對(duì)任意成立,
所以是奇函數(shù).                      4分
(Ⅱ)解:,即,又上是單調(diào)函數(shù),
所以上是增函數(shù).
又由(1)是奇函數(shù).
,即對(duì)任意成立.
,問題等價(jià)于對(duì)任意恒成立.   8分
其對(duì)稱軸.
當(dāng)時(shí),即時(shí),,符合題意;       10分
當(dāng)時(shí),對(duì)任意恒成立
解得                     12分
綜上所述,對(duì)任意恒成立時(shí),
實(shí)數(shù)的取值范圍是:.                 13分
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