Question

過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向直線作垂線，垂足分別為、。

（Ⅰ）當(dāng)時，求證：⊥；

（Ⅱ）記、 、的面積分別為、、，是否存在，使得對任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

解析:

本小題主要考察拋物線的定義和幾何性質(zhì)等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理運算的能力。（14分）

解：依題意，可設(shè)直線MN的方程為，則有

由消去x可得

從而有                                             ①

于是                                    ②

又由，可得                  ③

（Ⅰ）如圖1，當(dāng)時，點即為拋物線的焦點，為其準(zhǔn)線

此時 ①可得

證法1：

證法2：

(Ⅱ)存在，使得對任意的，都有成立，證明如下：

證法1：記直線與x軸的交點為,則。于是有

將①、②、③代入上式化簡可得

上式恒成立，即對任意成立

證法2：如圖2，連接,則由可得

,所以直線經(jīng)過原點O，

同理可證直線也經(jīng)過原點O

又設(shè)則

（2）當(dāng)得對稱軸x=b位于區(qū)間之外

此時

由

①         若

于是

②         若，則，

于是

綜上，對任意的b、c都有

而當(dāng)，時，在區(qū)間上的最大值

故對任意的b，c恒成立的k的最大值為