Question

（B題）設函數(shù)f（x）=|x|x+bx+c，給出下列四個命題：
①當b=0，c＞0時方程f（x）=0有且只有一個實數(shù)根；
②當c=0時，y=f（x）是奇函數(shù)；
③?x∈R有f（-x）=2c-f（x）；
④方程f（x）=0至多有兩個實數(shù)根．
則上述命題中，所有正確命題的序號為

①②③

．

Answer 1

分析：分別根據(jù)條件，討論b，c的取值進行判斷．
①當b=0時，得f（x）=x|x|+c在R上為單調(diào)增函數(shù)，方程f（x）=0只有一個實根．
②利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷．③利用函數(shù)圖象關于點對稱的定義，可證得函數(shù)f（x）圖象關于點（0，c）對稱．
④舉出反例如c=0，b=-2，可以判斷．

解答：解：①b=0，c＞0時，得f（x）=x|x|+c=

x2+c，x≥0 -x2+c，x＜0

，在R上為單調(diào)增函數(shù)，且值域為R，故方程f（x）=0，只有一個實數(shù)根，故①正確．
②當c=0時，函數(shù)f（x）=x|x|+bx為奇函數(shù)，故②正確．
③∵f（-x）=-x|x|-bx+c，∴f（-x）+f（x）=2c，可得函數(shù)f（x）的圖象關于點（0，c）對稱，故③正確．
④當c=0，b=-2，f（x）=x|x|-2x=0的根有x=0，x=2，x=-2故④錯誤．
故答案為：①②③．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性、對稱性、單調(diào)性以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．對函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的充分理解，并用于二次函數(shù)當中，是解決本題的關鍵．