Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=lnx-ax．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在P（1，-2）處的切線方程；
（2）若f（x）無零點，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若f（x）有兩個相異零點x₁，x₂，求證：x₁•x₂＞e²．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定函數(shù)f（x）的定義域，然后對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出f′（1）=-1，得到切線方程．
（2）當(dāng)a≤0時，函數(shù)有零點；當(dāng)a＞0時，極大值小于0，函數(shù)沒有零點，由此可求實數(shù)a的取值范圍．
（3）由于f（x）有兩個相異零點x₁，x₂，可知f（x₁）=0，f（x₂）=0，再原不等式x₁•x₂＞e²進一步整理得到，只要能證出上述不等式恒成立即可．
解答：解：在區(qū)間（0，+∞）上，．…（1分）
（1）當(dāng)a=2時，f^′（1）=1-2=-1，則切線方程為y-（-2）=-（x-1），即x+y+1=0 …（3分）
（2）①若a＜0，則f^′（x）＞0，f（x）是區(qū)間（0，+∞）上的增函數(shù)，
∵f（1）=-a＞0，f（e^a）=a-ae^a=a（1-e^a）＜0，
∴f（1）•f（e^a）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）有唯一零點．…（6分）
②若a=0，f（x）=lnx有唯一零點x=1．…（7分）
③若a＞0，令f^′（x）=0得：．
在區(qū)間（0，）上，f^′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)；
在區(qū)間（，+∞）上，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)；
故在區(qū)間（0，+∞）上，f（x）的極大值為f（）=．
由于f（x）無零點，須使，解得：．
故所求實數(shù)a的取值范圍是（，+∞）．…（9分）
（3）設(shè)x₁＞x₂＞0，∵f（x₁）=0，f（x₂）=0，∴l(xiāng)nx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，
∴l(xiāng)nx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂）
原不等式x₁•x₂＞e²等價于lnx₁+lnx₂＞2?a（x₁+x₂）＞2??

令，則t＞1，于是?．…（12分）
設(shè)函數(shù)，
求導(dǎo)得：，
故函數(shù)g（t）是（1，+∞）上的增函數(shù)，∴g（t）＞g（1）=0
即不等式成立，故所證不等式x₁•x₂＞e²成立．…（14分）
點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)極值中的應(yīng)用，連續(xù)函數(shù)的零點存在性定理及其應(yīng)用，分類討論的思想方法，屬中檔題