Question

已知數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，a₁=2，且．a(chǎn)₂是a₁、a₄的等比中項(xiàng)，n∈N^*．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n記數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），根據(jù)條件和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程求解，再代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的公差，代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)，再求出

1

Sn

并且裂項(xiàng)，再代入前n項(xiàng)和為T_n化簡(jiǎn)，根據(jù)式子和n的取值范圍進(jìn)行證明即可．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），
由題意得a22=a1a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)，
∴（2+d）²=2（2+3d），解得 d=2，或d=0（舍），
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
Sn=na1+

n(n-1)

2

d=2n+n(n-1)=n2+n，
∴

1

Sn

=

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Tn=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)，
=1-

1

n+1

，
∵n∈N^*，∴T_n＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列與不等式結(jié)合等，屬于中檔題．