Question

已知函數(shù)f（x）=b•a^x，（其中a，b為常數(shù)且a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，6），B（3，24）
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式(

1

a

)x+(

1

b

)x+1-2m≥0在x∈（-∞，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）=b•a^x，（其中a，b為常數(shù)且a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，6），B（3，24），知

a•b=6 b•a3=24

，由此能求出f（x）．
（2）設(shè)g（x）=（

1

a

）^x+（

1

b

）^x=（

1

2

）^x+（

1

3

）^x，則y=g（x）在R上是減函數(shù)，故當(dāng)x≤1時(shí)，g（x）_min=g（1）=

5

6

．由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=b•a^x，（其中a，b為常數(shù)且a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，6），B（3，24），
∴

a•b=6 b•a3=24

，解得a=2，b=3，
∴f（x）=3•2^x．
（2）設(shè)g（x）=（

1

a

）^x+（

1

b

）^x=（

1

2

）^x+（

1

3

）^x，
∴y=g（x）在R上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x≤1時(shí)，g（x）_min=g（1）=

5

6

．
∴（

1

a

）^x+（

1

b

）^x+1-2m≥0在x∈（-∞，1]上恒成立，
即2m-1≤

5

6

，
解得m≤

11

12

．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-

11

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求法，考查滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．