如圖，橢圓C: x 2＋3 y 2＝3b2  (b＞0).

(Ⅰ) 求橢圓C的離心率；

(Ⅱ) 若b＝1，A，B是橢圓C上兩點，且 | AB | ＝，求△AOB面積的最大值.

 


本題主要考查橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分15分。

(Ⅰ)解：由x2＋3y2＝3b2  得 ，

所以e＝＝＝＝．                      …………5分

(Ⅱ)解：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，△ABO的面積為S．

如果AB⊥x軸，由對稱性不妨記A的坐標為(，)，此時S＝＝；

如果AB不垂直于x軸，設直線AB的方程為y＝kx＋m，

由 得x2＋3(kx＋m) 2＝3，

即 (1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，又Δ＝36k2m2－4(1＋3k2) (3m2－3)＞0，

所以  x1＋x2＝－，x1 x2＝，

(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4 x1 x2＝，   ①

由 | AB |＝及 | AB |＝得

(x1－x2)2＝，                           ②

結合①，②得m2＝(1＋3k2)－．又原點O到直線AB的距離為，

所以S＝，

因此 S2＝＝[－]＝[－(－2)2＋１]

＝－(－2)2＋≤，

故S≤．當且僅當＝2，即k＝±1時上式取等號．又＞，故S max＝．

                                                      …………15分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•江西）如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過點P （1，
3
2
），離心率e=
1
2
，直線l的方程為x=4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦（不經(jīng)過點P），設直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3．問：是否存在常數(shù)λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），經(jīng)過點（0，1），橢圓上點到焦點的最遠距離為2+
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）過（1，0）點的直線L與橢圓C交于A，B兩點，點A關于x軸的對稱點A′（A′與B不重合），求證直線A′B與x軸交于一個定點，求此點坐標．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年浙江省高三第二學期第一次統(tǒng)考理科數(shù)學 題型：解答題

(本題滿分15分) 如圖，橢圓C: x 2＋3 y 2＝3b2  (b＞0).

(Ⅰ) 求橢圓C的離心率；

(Ⅱ) 若b＝1，A，B是橢圓C上兩點，且 | AB | ＝，

求△AOB面積的最大值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2012屆浙江省高三調(diào)研測試理科數(shù)學試卷 題型：解答題

(本題滿分15分) 如圖，橢圓C: x 2＋3 y 2＝3b2  (b＞0).

(Ⅰ) 求橢圓C的離心率；

(Ⅱ) 若b＝1，A，B是橢圓C上兩點，且 | AB | ＝，求△AOB面積的最大值.

 

 

 

 

 

 

 

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案