Question

如圖，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=4，E為AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將△AED沿DE折起，使點(diǎn)A到點(diǎn)P處，滿足PB=PC，設(shè)M、H分別為PC、DE的中點(diǎn)．
（1）求證：BM∥平面PDE；
（2）線段BC上是否存在一點(diǎn)N，使BC⊥平面PHN？試證明你的結(jié)論；
（3）求△PBC的面積．

Answer 1

分析：（1）取PD的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)M，由中位定理，及平行四邊形判定定理易得四邊形EFMB是平行四邊形，進(jìn)而B(niǎo)M∥EF，再由線面垂直的判定定理，即可得到BM∥平面PDE；
（2）取N為BC的中點(diǎn)，連接HN，易得HN為直角梯形BCDE的中位線，結(jié)合PB=PC，我們可得HN⊥BC，PN⊥BC，由線面垂直的判定定理可得BC⊥平面PHN；
（3）由已知中△PBC是以BC為底，PN為高的三角形，根據(jù)（2）的結(jié)論，我們易得△PHN為直角三角形，根據(jù)已知中AB=2AD=4，求出△PBC的底邊長(zhǎng)和高，代入三角形面積公式，即可得到答案．

解答：證明：（1）取PD的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)M
由條件知：FM平行且等于DC的一半，EB平行且等于DC的一半
∴FM∥EB，且FM=EB
則四邊形EFMB是平行四邊形
則BM∥EF
∵BM?平面PDE，EF?平面PDE
∴BM∥平面PDE；
解：（2）當(dāng)N為BC的中點(diǎn)時(shí)，BC⊥平面PHN，理由如下：
由題意得，HN為直角梯形BCDE的中位線
∴HN⊥BC
∵PB=PC
∴PN⊥BC
又∵HN∩PN=N
∴BC⊥平面PHN，
（3）由（2）中結(jié)論可得，BC⊥PH，
又∵PH⊥DE
故PH⊥底面BCDE
則PH⊥HN，即△PHN為直角三角形
∵AB=2AD=4，E為AB的中點(diǎn)
∴BC=2，HN=3，PH=

2

，則PN=

11

∴△PBC的面積S=

1

2

•BC•PN=

11

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線與平面位置關(guān)系的定義、判定定理、性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．