Question

已知函數(shù)f（x）=

9x

1+ax2

（a＞0）．
（1）若a=1，求f（x）在x∈（0，+∞）時(shí)的最大值；
（2）若直線y=-x+2a是曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）通過a=1，化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，利用基本不等式求解f（x）在x∈（0，+∞）時(shí)的最大值；
（2）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線的向量為1，推出關(guān)系式，通過直線y=-x+2a是曲線y=f（x）的切線，列出方程即可求實(shí)數(shù)a的值．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=

9x

1+x2

=

9

1 x +x

≤

9

2

，當(dāng)x=1時(shí)取“=”；
（2）設(shè)切點(diǎn)（x₀，y₀），則f′(x)=

9(1-ax2)

(1+ax2)2

，
則f′(x0)=

9(1-a x 2 0 )

(1+a x 2 0 )2

=-1，得a2

x

4 0

-7a

x

2 0

+10=0∴a

x

2 0

=2或a

x

2 0

=5…①
又由切線，則f（x₀）=-x₀+2a則：-x0+2a=

9x0

1+a x 2 0

…②
由將①代入②得(-x0+2a)(1+a

x

2 0

)=9x0
若a

x

2 0

=2則x0=±

2 a

：得(2a?

2 a

)(1+2)=±9

2 a

，解得a=2
若a

x

2 0

=5則x0=±

5 a

：得(2a?

5 a

)(1+5)=±9

5 a

，解得a=

5 3 4

4

即a=2或a=

5 3 4

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，切線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．