Question

9．當且僅當x∈（a，b）∪（c，d）（其中b≤c）時，函數f（x）=2x²+x+2的圖象在函數g（x）=|2x+1|+|x-t|圖象的下方，則b-a+d-c的取值范圍為（0，2]．

Answer 1

分析 化簡函數的解析式，再畫出f（x）、g（x）的圖象，結合題意可得1＜t≤$\frac{3}{2}$，運用二次方程的兩根之差，求出b-a，d-c關于t的函數，可得d-c+b-a的范圍．

解答 解：作出函數f（x）=2x²+x+2的圖象，
由函數g（x）=|2x+1|+|x-t|的圖象可得t=1時，
當x＜-$\frac{1}{2}$時，g（x）=-2x-1+1-x=-3x，
由2x²+x+2=-3x，即有x²+2x+1=0，
f（x）的圖象和g（x）的圖象相切，
當b=c=-$\frac{1}{2}$時，即有g（-$\frac{1}{2}$）=|-$\frac{1}{2}$-t|=2×$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$+2，
解得t=$\frac{3}{2}$（-$\frac{5}{2}$舍去），
由題意可得1＜t≤$\frac{3}{2}$，
當x＜-$\frac{1}{2}$時，g（x）=-2x-1+t-x=-3x+t-1，
由f（x）=g（x），可得2x²+4x+3-t=0，
即有b-a=$\sqrt{（-2）^{2}-4×\frac{3-t}{2}}$=$\sqrt{2（t-1）}$，
當-$\frac{1}{2}$＜x＜t時，g（x）=2x+1+t-x=x+t+1，
由f（x）=g（x），即為2x²=t-1，解得x=±$\sqrt{\frac{t-1}{2}}$，
可得d-c=$\sqrt{2（t-1）}$，
則b-a+d-c=2$\sqrt{2（t-1）}$，
由1＜t$≤\frac{3}{2}$，可得b-a+d-c∈（0，2]．
故答案為：（0，2]．

點評 本題主要考查帶有絕對值的函數，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于中檔題．