Question

設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．

(1)若首項(xiàng)a₁＝，公差d＝1，求滿足＝(S_k)²的正整數(shù)k；

(2)求所有的無(wú)窮等差數(shù)列{a_n}，使得對(duì)于一切正整數(shù)k，都有＝(S_k)²成立．

Answer 1

答案：
解析：

由①得a1＝0或a1＝1．當(dāng)a1＝0時(shí)，代入②得d＝0或d＝6．若a1＝0，d＝0，則an＝0，Sn＝0，從而＝(Sk)2成立；若a1＝0，d＝6，則an＝6(n－1)，由S3＝18，(S3)2＝324，S9＝216知S9≠(S3)2，故所得數(shù)列不符合題意．當(dāng)a1＝1時(shí)，代入②得4＋6d＝(2＋d)2，解得d＝0或d＝2．若a1＝1，d＝0，則an＝1，Sn＝0，從而＝(Sk)2成立；若a1＝1，d＝2，則an＝2n－1，Sn＝n2，從而＝(Sk)2成立．綜上，共有3個(gè)滿足條件的無(wú)窮等差數(shù)列：an＝0，an＝1，an＝2n－1．