Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=4，a_n+2+2a_n=3a_n+1（n∈N⁺），設(shè)b_n=a_n+1-a_n．
（1）求數(shù)列{b_n}、{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求使得S_n＞21-2n成立的最小整數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用條件構(gòu)造數(shù)列，先求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后利用累加法求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用（1）求出{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，然后解不等式S_n＞21-2n求最小整數(shù)．

解答： 解：（1）由a_n+2+2a_n-3a_n+1=0，得a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）⇒b_n+1=2b_n，
∴數(shù)列{b_n}是以a₂-a₁=3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，∴bn=3×2n-1(3分)
∴an+1-an=3•2n-1
∴n≥2時(shí)，an-an-1=3•2n-2，…，a₃-a₂=3•2，a₂-a₁=3，
累加得an-a1=3•2n-2+3•2n-3+…+3•2+3=3(2n-1-1)
∴an=3•2n-1-2（當(dāng)n=1時(shí)，也滿足）                          （6分）
（2）由（1）利用分組求和法得Sn=3(2n-2+2n-3+…+2)-2n=3(2n-1)-2n   （9分）
Sn=3(2n-1)-2n＞21-2n，得 3•2ⁿ＞24，即2ⁿ＞8=2³，∴n＞3．
∴使得S_n＞21-2n成立的最小整數(shù)4．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)．