Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，點(diǎn)D是線段AB上的一點(diǎn)，且∠CDB₁=90°，AA₁=CD，則點(diǎn)A₁到平面B₁CD的距離為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)A₁到平面B₁CD的距離．

解答： 解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC⊥BC，
以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AA₁=CD=t，C（0，0，0），D（a，b，0），B₁（0，4，t），A（3，0，0），
B（0，4，0），

AB

=(-3.4，0)，
設(shè)

AD

=λ

AB

，則（a-3，b，0）=（-3λ，4λ，0），
∴a=3-3λ，b=4λ，即D（3-3λ，4λ，0），
∴

CD

=（3-3λ，4λ，0），

B1D

=（3-3λ，4λ-4，-t），
∵∠CDB₁=90°，
∴

CD

•

B1D

=25λ²-34λ+9=0，
解得λ=1或λ=

9

25

，
當(dāng)λ=1時(shí)，D與B重合，點(diǎn)A到面B₁CD的距離為3；
當(dāng)λ=

9

25

時(shí)，

CD

=（

48

25

，

36

25

，0），t=

( 48 25 )2+( 36 25 )2

=

12

5

，

CB1

=（0，4，

12

5

），
設(shè)平面B₁CD的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • CD = 48 25 x+ 36 25 y=0 n • CB1 =4y+ 12 5 z=0

，取x=3，得

n

=（3，-4，

20

3

），

CA1

=（3，0，

12

5

），
∴點(diǎn)A₁到平面B₁CD的距離為：d=

| CA1 • n |

| n |

=

9+ 240 15

9+16+ 400 9

=3．
綜上所述，點(diǎn)A₁到平面B₁CD的距離為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)，以及線面平行的判定和二面角的度量，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．