如圖：直角三角形ABC中，AC⊥BC，AB=2，D是AB的中點(diǎn)，M是CD上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）若M是CD的中點(diǎn)，求數(shù)學(xué)公式的值；
（2）求數(shù)學(xué)公式的最小值．

解：（1）∵CD是Rt△ABC的斜邊AB上的中線，
∴CD=AB=1，得MD=CD=
∵，，
∴=（+）（-）
=．…（6分）
（2）設(shè)MD=x，則MC=1-x．其中0≤x≤1
∵M(jìn)D是△MAB的中線，∴=2，
得=
==-2x（1-x）=2x2-2x，
∵2x2-2x=2（x-）2-
∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，2x2-2x的最小值為． …（12分）
即當(dāng)時(shí)，的最小值為．…（14分）
分析：（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算，得且，因此=，再代入題中數(shù)據(jù)即可得到的值；
（2）設(shè)MD=x，則MC=1-x，由三角形中線的性質(zhì)化簡(jiǎn)得==2x2-2x，接下來求二次函數(shù)y=2x2-2x在區(qū)間[0，1]上的最值，即可得到當(dāng)時(shí)，的最小值為．
點(diǎn)評(píng)：本題給出直角三角形ABC斜邊中線上的動(dòng)點(diǎn)M，求向量數(shù)量積的最小值，著重考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=
3
．點(diǎn)M，N分別在邊AB和AC 上（M點(diǎn)和B點(diǎn)不重合），將△AMN沿MN翻折，△AMN變?yōu)椤鰽′MN，使頂點(diǎn)A′落在邊BC上（A′點(diǎn)和B點(diǎn)不重合）．設(shè)∠AMN=θ．
（1）用θ表示∠BA′M和線段AM的長(zhǎng)度，并寫出θ的取值范圍；
（2）求線段AN長(zhǎng)度的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=
3
．點(diǎn)M，N分別在邊AB和AC上（M點(diǎn)和B點(diǎn)不重合），將△AMN沿MN翻折，△AMN變?yōu)椤鰽'MN，使頂點(diǎn)A'落在邊BC上（A'點(diǎn)和B點(diǎn)不重合）．設(shè)∠AMN=θ．
（1）用θ表示線段AM的長(zhǎng)度，并寫出θ的取值范圍；
（2）在△AMN中，若
AN
sin∠AMN
=
MA
sin∠ANM
，求線段A'N長(zhǎng)度的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本題為選做題，請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答）
A（《幾何證明選講》選做題）．如圖：直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=4，以BC為直徑的圓交邊AC于點(diǎn)D，AD=2，則∠C的大小為
30°
30°
．
B（《坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講》選做題）．已知直線的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
，則點(diǎn)A（2，
7π
4
）到這條直線的距離為
2
2
2
2
．
C（不等式選講）不等式|x-1|+|x|＜3的解集是
（-1，2）
（-1，2）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•咸陽(yáng)三模）（考生注意：請(qǐng)?jiān)谙铝腥涝囶}中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評(píng)閱記分）
A．（不等式選做題）若不等式|2a-1|≤ |x+
1
x
|對(duì)一切非零實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
[-
1
2
，
3
2
]
[-
1
2
，
3
2
]
．
B．（幾何證明選做題）如圖，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=4，以BC為直徑的圓交AC邊于點(diǎn)D，AD=2，則∠C的大小為
30°
30°
．
C．（極坐標(biāo)與參數(shù)方程選做題）若直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-
π
4
)=3
2
，圓C：
x=cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)）上的點(diǎn)到直線l的距離為d，則d的最大值為
3
2
+1
3
2
+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖：直角三角形ABC中，AC⊥BC，AB=2，D是AB的中點(diǎn)，M是CD上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）若M是CD的中點(diǎn)，求
MA
•
MB
的值；
（2）求(
MA
+
MB
)•
MC
的最小值．

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