Question

f(x)=x3-

b

2

x2+bx+4在〔-2，1〕上單調(diào)遞增，求b取值范圍．

Answer 1

分析：由f(x)=x3-

b

2

x2+bx+4，知f′（x）=3x²-bx+b，由f（x）在〔-2，1〕上單調(diào)遞增，知f′（x）在[-2，1]上恒有f′（x）≥0，即3x²-bx-b≥0在[-2，1]上恒成立，由此能求出參數(shù)b的取值范圍．

解答：解：∵f(x)=x3-

b

2

x2+bx+4，
∴f′（x）=3x²-bx+b，
∵f（x）在〔-2，1〕上單調(diào)遞增，
∴f′（x）在[-2，1]上恒有f′（x）≥0，即3x²-bx-b≥0在[-2，1]上恒成立，
設(shè)y=3x²-bx-b，則拋物線y=3x²-bx-b的對(duì)稱軸方程是x=

b

6

．
①當(dāng)x=

b

6

≥1時(shí)，f′（x）_min=f′（1）=3-b+b＞0，
解得b≥6．
②當(dāng)x=

b

6

≤-2時(shí)，f′（x）_min=f′（-2）=12+2b+b≥0，
解得b∈∅．
③當(dāng)-2≤

b

6

≤1時(shí)，f′（x）_min=

b-b2

12

≥0，
∴0≤b≤6．
綜上所述，所求參數(shù)b的取值范圍是[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查參數(shù)的取值范圍的求法，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．