Question

13．如圖是一個半徑為1的半圓，AB是直徑，點C在圓弧上，且與A、B不重合，△ACD是等邊三角形，設(shè)∠CAB=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
（1）將三角形ABC的面積S₁表示為θ的函數(shù)；
（2）將三角形ACD的面積S₂表示為θ的函數(shù)；
（3）求四邊形ABCD的面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）先由已知將AC，BC表示成θ的函數(shù)，求出△ABC的面積即可；
（2）由AC=2cosθ，即可求出等邊三角形△ACD的面積；
（3）先求四邊形ABCD的面積，根據(jù)數(shù)據(jù)函數(shù)的恒等變換，求S的最大值即可．

解答 解：（1）在△ABC中，AB是直徑，
∴∠ACB=$\frac{π}{2}$；
∵∠CAB=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
∴AC=AB•cos∠CAB=2cosθ，
BC=AB•sin∠CAB=2sinθ；
∴三角形ABC的面積S₁=$\frac{1}{2}$AC•BC
=$\frac{1}{2}$×2cosθ×2sinθ
=2sinθcosθ
=sin2θ，
（2）等邊三角形△ACD中，AC=2cosθ，
∴三角形ACD的面積S₂=$\frac{1}{2}$×AC²•sin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$×（2cosθ）²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$cos²θ
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（3）由（1），（2）可得四邊形ABCD的面積為：S=S_△ABC+S_△ACD=sin2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∵S=sin2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$sin（2θ+α）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中tanα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴當2θ+α=$\frac{π}{2}$時，S取得最大值是$\frac{\sqrt{7}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，此時θ=$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$arctan$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換的應(yīng)用問題，也考查了求三角形的面積的應(yīng)用問題，是綜合性題目．