Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥AB，PA＝1，PC＝3，BC＝2，sin∠PCA，E，F，G分別為線段的PC，PB，AB中點，且BE．

（1）求證：AB⊥BC；

（2）若M為線段BC上一點，求三棱錐M﹣EFG的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先證明PA⊥平面ABC，再證明BC⊥BP，即可得BC⊥平面PAB，即可得證；

（2）由BC∥平面EFG可得VM﹣EFG＝VB﹣EFG＝VE﹣BFG，證明EF⊥平面BFG后求出長度即可得解.

（1）證明：∵PA＝1，PC＝3，，∴PA⊥AC，

∵PA⊥AB，∴PA⊥平面ABC，

∴PA⊥BC，∵E為PC中點，且，∴BC⊥BP，∴BC⊥平面PAB，∴AB⊥BC；

（2）∵E，F為中點，∴BC∥EF，且EF＝1，由BC平面EFG，∴BC∥平面EFG，

∵M∈BC，∴VM﹣EFG＝VB﹣EFG＝VE﹣BFG，易知EF⊥平面BFG，FG∥PA，

， ，∴S△BFG，

∴．

∴三棱錐M﹣EFG的體積為.