Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₂=2，a₅=128．
（1）求通項(xiàng)a_n；
（2）若b_n=log₂a_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求滿足不等式S_n＜2012的n的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)a₂=2，a₅=128，直接由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式計(jì)算首項(xiàng)和公比，則通項(xiàng)公式可求；
（2）把（1）中求得的a_n代入b_n=log₂a_n，判斷出數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式寫出前n項(xiàng)和，然后求解不等式得到滿足不等式S_n＜2012的n的最大值．
解答：解：解：（1）∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，a₂=2，a₅=128
∴，解得．
于是；
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124451704579741/SYS201310251244517045797016_DA/3.png">，
由b_n=log₂a_n，可得．
所以b_n-b_n-1=（2n-3）-[2（n-1）-3]=2．
所以數(shù)列{b_n}是一個(gè)以-1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．  
于是．
因?yàn)镾_n＜2012，即n²-2n＜2012，即n²-2n-2012＜0
解得，即．
經(jīng)過估算，得到n的最大值為45．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了對(duì)數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)，考查了數(shù)列的和，是基礎(chǔ)題．