Question

已知橢圓和圓，左頂點和下頂點分別為A，B，且F是橢圓C₁的右焦點．
（1）若點P是曲線C₂上位于第二象限的一點，且△APF的面積為，求證：AP⊥OP；
（2）點M和N分別是橢圓C₁和圓C₂上位于y軸右側(cè)的動點，且直線BN的斜率是直線BM斜率的2倍，求證：直線MN恒過定點．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)曲線C₂上的點P（x，y），利用△APF的面積為，可求P的坐標(biāo)，計算=0，即可證得結(jié)論；
（2）設(shè)直線BM、BN的方程為y=2kx-1，代入橢圓方程，求得M，N的坐標(biāo)，計算直線MN的斜率，可得直線MN的方程，即可求得結(jié)論．
解答：證明：（1）設(shè)曲線C₂上的點P（x，y），且x＜0，y＞0，由題意A（-，0），F(xiàn)（1，0）
∵△APF的面積為，∴=
∴，
∴=•=0
∴AP⊥OP；
（2）設(shè)直線BM的斜率為k，則直線BN的斜率為2k，又兩直線都過點B（0，-1）
∴直線BM的方程為y=kx-1，直線BN的方程為y=2kx-1
將y=kx-1代入橢圓方程，消元可得（1+2k²）x²-4kx=0，∴，∴
∴M（，）
同理N（，）
∴直線MN的斜率為=-
∴直線MN的方程為y-=-（x-）
整理得y=-x+1
∴直線MN恒過定點（0，1）
點評：本題考查橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線恒過定點，確定點的坐標(biāo)是關(guān)鍵．