Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，E，F分別為，的中點.

（1）求證：平面；

（2）點G是線段上一動點，若與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取的中點H，連結，證明四邊形為平行四邊形得到證明.

（2）連結，證明為與平面所成角的平面角得到，以A為原點，如圖建立空間直角坐標系，平面的一個法向量為，平面的法向量，計算夾角得到答案.

（1）取的中點H，連結，

∵E，F分別為的中點，∴，，

由題知，，∴，，

∴四邊形為平行四邊形，∴，

∵平面，且平面，∴平面.

（2）連結，∵四邊形為菱形，，

∴是等邊三角形，E為中點，

∴，且，

∵平面，平面，∴，，

∴平面，

∵平面，∴，

∴為與平面所成角的平面角，

在中，∵，

∴當最短時，最大，，

∵，∴，

在中，，，∴，

以A為原點，如圖建立空間直角坐標系，

則，

則，

∵，∴平面，

∴平面的一個法向量為，

平面的法向量，

則，∴，取，得，

設二面角的平面角為，

則，

∴二面角的余弦值為.