Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，連結AC₁交平面A₁BD于點H，給出以下結論：
①AC₁⊥平面A₁BD；  
②AH=

3

3

；
③直線AC₁與BB₁所成的角為60°．
則正確的結論是

 

．（正確的序號都填上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定,點、線、面間的距離計算

專題：空間角,簡易邏輯

分析：直接由線面垂直的判定證明①正確；
由等積法求解AH的值，從而判斷命題②；
由異面直線所成角的定義得到直線AC₁與BB₁所成的角，通過解直角三角形得答案．

解答： 解：對于①，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵CC₁⊥上底面ABCD，
∴CC₁⊥BD，
又ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，
AC∩CC₁=C，
∴BD⊥面ACC₁，
∴AC₁⊥BD，
同理得到AC₁⊥A₁B，
又A₁B∩BD=B，
∴AC₁⊥平面A₁BD，①正確；
對于②，∵正方體棱長為1，
∴A1B=A1D=BD=

2

，
則△A₁BD的面積為

1

2

×

2

×

6

2

=

3

2

．
由VA1-ABD=VA-A1BD，
得

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

3

×

3

2

×AH，解得：AH=

3

3

．②正確；
對于③，直線AC₁與BB₁所成的角即為∠A₁AC₁，
tan∠A1AC1=

A1C1

AA1

=

2

，∴③錯誤．
則正確的結論是①②．
故答案為：①②．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查正方體的體對角線AC₁的性質：①AC₁⊥平面A₁BD，AC₁⊥平面CB₁D₁；②AC₁被平面A₁BD與平面CB₁D₁三等分；③AC₁=

3

AB．是中檔題．