己知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x2=4y的焦點(diǎn)之間的距離為
5
，離心率e=
2
5
5
，過橢圓的左焦點(diǎn)廠做一條與坐標(biāo)軸不垂直的直線L交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0）是線段OF1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且（
MA
+
MB
）⊥
AB
，求m的取值范圍．
分析：（1）根據(jù)題意設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)（c，0 ），則由題意可得
c2+1
=
5
，求出c值，由離心率可得 a，求出b值，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)直線l的方程為 y=k（x+2），代入橢圓的方程化簡(jiǎn)，把根與系數(shù)的關(guān)系代入（
MA
+
MB
）•
AB
=0，解得 m=-
8k2
1+5k2
=-
8
1
k2
+5 
，再利用不等式的性質(zhì)求出m的取值范圍．
解答：解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為（0，1），設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)（c，0 ），則由題意可得
c2+1
=
5
，
∴c=2，∴再由離心率可得 a=
5
，b=1，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
5
+y2=1．
（2）設(shè)直線l的方程為 y=k（x+2），代入橢圓的方程化簡(jiǎn)可得  （1+5k2）x2+20k2x-5=0，
∴x1+x2=
-20k2
1+5k2
，x1•x2=
-5
1+5k2
，
∴（
MA
+
MB
）=（x1-m，y1）+（x2-m，y2 ）=（x1+x2-2m，y1+y2 ）．
由（
MA
+
MB
）⊥
AB
，可得 （
MA
+
MB
）•
AB
=（x1+x2-2m，y1+y2 ）•（x2-x1，y2-y1）
=（x1+x2-2m）（x2-x1）+（y2+y1）（y2-y1）=0，
化簡(jiǎn)可得 x1+x2-2m+k2（x1+x2+4）=0，∴2m=4k2-
20k2(k2+ 1)
1+5k2
，
∴m=-
8k2
1+5k2
=-
8
1
k2
+5 
．∵k2＞0，∴0＜
8
1
k2
+5
＜
8
5
，
∴-
8
5
＜m＜0． 故m的取值范圍是[-
8
5
，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，不等式的性質(zhì)，求出m=-
8k2
1+5k2
=-
8
1
k2
+5 
，是解題的關(guān)鍵，
屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)給出下列5個(gè)命題：
①0＜a≤
1
5
是函數(shù)f（x）=ax2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為單調(diào)減函數(shù)的充要條件；
②如圖所示，“嫦娥探月衛(wèi)星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用2Cl和2c2分別表示摘圓軌道I和II的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道I和II的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，則有c1a2＞a1c2；
③函數(shù)y=f（x）與它的反函數(shù)y=f-1（x）的圖象若相交，則交點(diǎn)必在直線y=x上；
④己知函數(shù)f（x）=loga（1-ax）在（O，1）上滿足，f′（x）＞0，貝U
1
1-a
＞1+a＞
2a
；
⑤函數(shù)f（x）=
tan2x+
(1+i)2
i
+1
tan2x+2
（x≠kπ+
π
2
），k∈Z，/為虛數(shù)單位）的最小值為2；
其中所有真命題的代號(hào)是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

己知命題p：方程
x2
m+4
+
y2
2m-1
=1表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓；命題q：關(guān)于x的不等式x2-2x+m＞0的解集是R；若“p∧q”是假命題，“p∨q”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

己知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x2=4y的焦點(diǎn)之間的距離為數(shù)學(xué)公式，離心率e=數(shù)學(xué)公式，過橢圓的左焦點(diǎn)廠做一條與坐標(biāo)軸不垂直的直線L交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0）是線段OF1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且（數(shù)學(xué)公式+數(shù)學(xué)公式）⊥數(shù)學(xué)公式，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

己知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為,P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且面積的最大值為.  

  (1)求橢圓的方程；

  (2)設(shè)橢圓短軸的上端點(diǎn)為A，M為動(dòng)點(diǎn)，且成等差數(shù)列，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的方程；

  (3)過點(diǎn)M作的切線交與Q、R兩點(diǎn)，求證：．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案