Question

19．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖，且過(guò)點(diǎn)$A（\frac{7π}{12}，0），B（0，-1）$，則以下結(jié)論不正確的是（　　）

• A． f（x）的圖象關(guān)于直線$x=-\frac{π}{6}$ 對(duì)稱(chēng)
• B． f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)$（\frac{π}{12}，0）$對(duì)稱(chēng)
• C． f（x） 在$[-\frac{π}{2}，-\frac{π}{3}]$ 上是增函數(shù)
• D． f（x） 在$[\frac{4π}{3}，\frac{3π}{2}]$ 上是減函數(shù)

Answer 1

分析 由圖象可得A=2，由圖象過(guò)點(diǎn)B（0，-1），即2sinϕ=-1，結(jié)合|ϕ|＜$\frac{π}{2}$，解得ϕ=-$\frac{π}{6}$．由圖象過(guò)點(diǎn)A（$\frac{7π}{12}$，0），可得2sin（$\frac{7π}{12}$ω-$\frac{π}{6}$）=0，解得：ω=$\frac{12}{7}$k+$\frac{2}{7}$，k∈Z，解析式可為f（x）=2sin（$\frac{2}{7}$x-$\frac{π}{6}$），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可逐一求解．

解答 解：函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，所以A=2，
∵圖象過(guò)點(diǎn)B（0，-1），
∴2sinϕ=-1，
∴ϕ=2kπ+$\frac{7π}{6}$，k∈Z，或ϕ=2kπ+$\frac{11π}{6}$，k∈Z
∵|ϕ|＜$\frac{π}{2}$，
∴ϕ=-$\frac{π}{6}$．
∵圖象過(guò)點(diǎn)A（$\frac{7π}{12}$，0），
∴2sin（$\frac{7π}{12}$ω-$\frac{π}{6}$）=0，解得：ω=$\frac{12}{7}$k+$\frac{2}{7}$，k∈Z．
∴k=0時(shí)，可得：ω=$\frac{2}{7}$，故所求解析式為f（x）=2sin（$\frac{2}{7}$x-$\frac{π}{6}$）．
則：A，由2sin[$\frac{2}{7}$×（-$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=-2sin$\frac{9π}{42}$≠±2，故錯(cuò)誤；
B，2sin（$\frac{2}{7}$×$\frac{π}{12}$-$\frac{π}{6}$）=-2sin$\frac{π}{7}$≠0，故錯(cuò)誤；
C，由2k$π-\frac{π}{2}$≤$\frac{2}{7}$x-$\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，解得單調(diào)遞增區(qū)間為：[7kπ-$\frac{7π}{6}$，7kπ+$\frac{7π}{3}$]，k∈Z，當(dāng)k=0時(shí)，$[-\frac{π}{2}，-\frac{π}{3}]$?[-$\frac{7π}{6}$，$\frac{7π}{3}$]，故正確；
D，由2k$π+\frac{π}{2}$≤$\frac{2}{7}$x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，解得單調(diào)遞減區(qū)間為：[7kπ+$\frac{7π}{3}$，7kπ+$\frac{35π}{6}$]，k∈Z，當(dāng)k=0時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{7π}{3}$，$\frac{35π}{6}$]，故錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．