Question

系數(shù){a_n}滿足a₁=

3

2

，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N⁺），則m=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2013

的整數(shù)部分是

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關系得到

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

，利用裂項法進行求和，即可得到結論．

解答： 解：由a_n+1=a_n²-a_n+1，
得a_n+1-1=a_n²-a_n=a_n（a_n-1），
取倒數(shù)得

1

an+1-1

=

1

an(an-1)

=

1

an-1

-

1

an

，
∴

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

，
即m=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2013

=

1

a1-1

-

1

a2-1

+

1

a2-1

+…+

1

a2013-1

-

1

a2014-1

=2-

1

a2014-1

，
可以證明a_n+1＞a_n，a₂＞2，
∴a₂₀₁₄＞2，故a₂₀₁₄-1＞1，
故m=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2013

的整數(shù)部分是1，
故答案為：1

點評：本題主要考查遞推數(shù)列的應用．根據(jù)遞推公式求出

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

是解決本題的關鍵．難度較大．