Question

已知點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0）和動點(diǎn)P滿足：∠APB=2θ，且存在正常數(shù)m，使得|PA|•|PB|cos²θ=m．
（I）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（II）設(shè)直線l：y=x+1與曲線C相交于兩點(diǎn)E、F，且與y軸的交點(diǎn)為D．若，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）在△PAB中，由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos2θ，由此推導(dǎo)出動點(diǎn)P的軌跡為以A，B為兩焦點(diǎn)的橢圓，從而求出動點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（Ⅱ）由，得（2m+1）x²+2（m+1）x+（1-m²）=0，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），由題設(shè)條件知D（0，1），由此入手能夠求出m．
解答：解：（Ⅰ）在△PAB中，由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos2θ，
∵|AB|=2，|PA|•|PB|cos²θ=m，
∴4=（|PA|+|PB|）²-2|PA|•|PB|（1+cos2θ）=（|PA|+|PB|）²-4m，
∴|PA|+|PB|=2＞2=|AB|，
即動點(diǎn)P的軌跡為以A，B為兩焦點(diǎn)的橢圓，
∴動點(diǎn)P的軌跡C的方程為．
（Ⅱ）由，得（2m+1）x²+2（m+1）x+（1-m²）=0，（*）
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），由題設(shè)條件知D（0，1），
則，①
 ，②
∵，∴（x₁，y₁-1）=（2+）（x₂，y₂-1），
∴
 將③代入①，②得，
∵m＞0，∴m=，
代入（*）方程△＞0，故m=．
點(diǎn)評：本題主要考查橢圓方程的求法和直線與圓錐曲線的綜合問題．一般是直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立消去y，得到兩根之和與兩根之積的關(guān)系式，再結(jié)合題中所給條件解題．